Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (4 x - 6) (5 x + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x - 6$ et $g (x) = 5 x + 1$ .

$(4 x - 6) \frac{d}{d x} [5 x + 1] + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(4 x - 6) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 6) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x - 6) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$(4 x - 6) (5 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x - 6) (5 + 0) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$(4 x - 6) \cdot 5 + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $4 x - 6$ .

$5 \cdot (4 x - 6) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.1.2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.1.2.11

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + 0)$

Étape 1.1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) \cdot 4$

Étape 1.1.2.12.2

Déplacez $4$ à gauche de $5 x + 1$ .

$5 (4 x - 6) + 4 \cdot (5 x + 1)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x + 1)$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3.2

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$20 x - 30 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4$

Étape 1.1.3.3.5

Additionnez $20 x$ et $20 x$ .

$40 x - 30 + 4$

Étape 1.1.3.3.6

Additionnez $- 30$ et $4$ .

$f' (x) = 40 x - 26$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $40 x - 26$ .

$40 x - 26$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $40 x - 26 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$40 x - 26 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $26$ aux deux côtés de l’équation.

$40 x = 26$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $40 x = 26$ par $40$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $40 x = 26$ par $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{26}{40}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $26$ et $40$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$x = \frac{2 (13)}{40}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{13}{20}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $(4 x - 6) (5 x + 1)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{13}{20}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{13}{20}$ .

$(4 (\frac{13}{20}) - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$(4 \frac{13}{4 (5)} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$(4 \frac{13}{4 \cdot 5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{13}{5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} - 6 \cdot \frac{5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 6$ et $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} + \frac{- 6 \cdot 5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13 - 6 \cdot 5}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$\frac{13 - 30}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $30$ de $13$ .

$\frac{- 17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Étape 4.1.2.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 (4)} + 1)$

Étape 4.1.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 \cdot 4} + 1)$

Étape 4.1.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + 1)$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.8.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 4.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{13 + 4}{4}$

Étape 4.1.2.8.3

Additionnez $13$ et $4$ .

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $\frac{17}{4}$ par $\frac{17}{5}$ .

$- \frac{17 \cdot 17}{4 \cdot 5}$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $17$ par $17$ .

$- \frac{289}{4 \cdot 5}$

Étape 4.1.2.9.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$- \frac{289}{20}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{13}{20}, - \frac{289}{20})$

Étape 5