Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ comme ${(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 8$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x + 8$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 8]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.1.3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Étape 1.1.3.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- {(x^{2} - 2 x + 8)}^{- 2} (2 x - 2)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 1.1.4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $- 2 x + 2$ par $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.7

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2$ .

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Étape 1.1.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.9

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.11

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.1.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x + 8)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 8}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1 + 8}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 + 8}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 + 8}$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$\frac{1}{7}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{1}{7})$

Étape 5