Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x + 3)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{x + 3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{1}{(- 3) + 3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{1}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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