Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - (1)$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 1$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1 - 3}{3}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

Étape 4.2.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} - (- 1)$

Étape 4.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} - (- 1)$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - \frac{2}{3}), (- 1, \frac{2}{3})$

Étape 5