Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 9 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $x^{2} - 9$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 9 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - 9 \cdot 3 + 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 9 \cdot 3 + 3$

Étape 4.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 9 \cdot 3 + 3$

Étape 4.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3^{2} - 9 \cdot 3 + 3$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - 9 \cdot 3 + 3$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$9 - 27 + 3$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $27$ de $9$ .

$- 18 + 3$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 18$ et $3$ .

$- 15$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} - 9 \cdot - 3 + 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 27 - 9 \cdot - 3 + 3$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) - 9 \cdot - 3 + 3$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) - 9 \cdot - 3 + 3$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 - 9 \cdot - 3 + 3$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$- 9 + 27 + 3$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 9$ et $27$ .

$18 + 3$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $18$ et $3$ .

$21$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(3, - 15), (- 3, 21)$

Étape 5