Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 25$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} + 25}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 + 25}{- 5}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{50}{- 5}$

Étape 4.1.2.2

Divisez $50$ par $- 5$ .

$- 10$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 + 25}{5}$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{50}{5}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $50$ par $5$ .

$10$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

Étape 5