Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 36 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 36$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 36$ .

$x^{2} - 36$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 36 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 36$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{36}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 6$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6, - 6$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} - 36 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{{(6)}^{3}}{3} - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{216}{3} - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $216$ par $3$ .

$72 - 36 \cdot 6$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$72 - 216$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $216$ de $72$ .

$- 144$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 6$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 6$ .

$\frac{{(- 6)}^{3}}{3} - 36 \cdot - 6$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 216}{3} - 36 \cdot - 6$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $- 216$ par $3$ .

$- 72 - 36 \cdot - 6$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $- 6$ .

$- 72 + 216$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 72$ et $216$ .

$144$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(6, - 144), (- 6, 144)$

Étape 5