Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Étape 1.1.2.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $50 x$ et $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Étape 1.1.2.6.2

Associez $50$ et $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Étape 1.1.2.6.3

Associez $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ et $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.2

Multipliez $25$ par $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.1.3.3.3

Multipliez $50$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Factorisez $50 x$ à partir de $1250 x^{3} - 200 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $50 x$ à partir de $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Étape 2.3.1.1.2

Factorisez $50 x$ à partir de $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Étape 2.3.1.1.3

Factorisez $50 x$ à partir de $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.3.1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 x$ et $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Étape 2.3.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Étape 2.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.4

Définissez $5 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Définissez $5 x + 2$ égal à $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Étape 2.3.4.2

Résolvez $5 x + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 2$

Étape 2.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 2.3.5

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Étape 2.3.5.2

Résolvez $5 x - 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 2$

Étape 2.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Étape 3.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Étape 3.2.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x^{2} = 4$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $25 x^{2} = 4$ par $25$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $25 x^{2} = 4$ par $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Étape 3.2.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Étape 3.2.6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Étape 3.2.6.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 3.2.6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Étape 3.2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2}{5}$

Étape 3.2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 3.2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Étape 4

Évaluez $| 25 x^{2} - 4 |$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $25$ par $0$ .

$| 0 - 4 |$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$| - 4 |$

Étape 4.1.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 4$ et $0$ est $4$ .

$4$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{2}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Étape 4.2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$| 4 - 4 |$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Étape 4.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{2}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{2}{5}$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Étape 4.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$| 4 - 4 |$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Étape 4.3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Étape 5