Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x}{x - 6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x - 6}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 6}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 6$ .

$4 \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 6) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$4 \frac{x - 6 - x \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 \frac{x - 6 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{x - 6 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x - 6 - x (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{x - 6 - x \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{x - 6 - x}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.4.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$4 \frac{- 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{6}{{(x - 6)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.5

Associez $- 4$ et $\frac{6}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.6.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$\frac{- 24}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{24}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$24 = 0$

Étape 2.3

Comme $24 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{24}{{(x - 6)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4

Évaluez $\frac{4 x}{x - 6}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{4 (6)}{(6) - 6}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{4 (6)}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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