Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- 4 x}{x + 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{x + 9}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x}{x + 9}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 9$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x + 9$ par $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- 4 \frac{0 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.4

Additionnez $0$ et $9$ .

$- 4 \frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.5

Associez $- 4$ et $\frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.6.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{- 36}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$36 = 0$

Étape 2.3

Comme $36 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 9)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 4

Évaluez $\frac{- 4 x}{x + 9}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 9$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 9$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{(- 9) + 9}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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