Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 5}$ comme ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 3$ et $g (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{1}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.5.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 5$ .

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Étape 1.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.11

Associez les fractions.

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Étape 1.1.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{{(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.11.3

Placez ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Étape 1.1.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Étape 1.1.13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Étape 1.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Étape 1.1.15

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Étape 1.1.16

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0))}{4 x - 5}$

Étape 1.1.17

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.17.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4)}{4 x - 5}$

Étape 1.1.17.2

Associez $\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{4}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.17.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19

Simplifiez

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Étape 1.1.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.19.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.2

Laissez $u_{2} = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 1.1.19.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u_{2} \cdot u_{2} + 2 (- 2 x - 3)$ .

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Étape 1.1.19.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u_{2} \cdot u_{2}$ .

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)$ .

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({u_{2}}^{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.19.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.19.2.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.19.2.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.19.2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{1} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.1.2

Simplifiez

$\frac{\frac{2 (4 x - 5 - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.2

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 5 - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.3

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 8)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 x + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.4.6

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{\frac{4 x - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 16$ .

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Étape 1.1.19.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (x) - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{\frac{4 x + 4 \cdot - 4}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.2.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.19.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$ comme un produit.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 x - 5}$

Étape 1.1.19.3.2

Multipliez $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{4 x - 5}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x - 5)}$

Étape 1.1.19.3.3

Multipliez ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $4 x - 5$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.19.3.3.1

Multipliez ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $4 x - 5$ .

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Étape 1.1.19.3.3.1.1

Élevez $4 x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 5)}^{1}}$

Étape 1.1.19.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.1.19.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.19.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.1.19.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ comme ${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x - 5)}^{3} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(4 x - 5)}^{3} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Définissez le $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 3.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(4 x - 5)}^{3} < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 x - 5 < 0$

Étape 3.5.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x < 5$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $4 x < 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 x < 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{2 (4) + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $8$ et $3$ .

$\frac{11}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{11}{\sqrt{16 - 5}}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $5$ de $16$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Étape 4.1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Étape 4.1.2.4.2

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Étape 4.1.2.4.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Étape 4.1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Étape 4.1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 4.1.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{1}}$

Étape 4.1.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $\sqrt{11}$ par $1$ .

$\sqrt{11}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{5}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{5 - 5}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0}}$

Étape 4.2.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0^{2}}}$

Étape 4.2.2.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Étape 4.2.2.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(4, \sqrt{11})$

Étape 5