Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 336$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 336 x$ par rapport à $x$ est $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 336$ par $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $24 x^{2} - 12 x - 336$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} - 12 x - 336$ .

$24 x^{2} - 12 x - 336$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} - 12 x - 336 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{2} - 12 x - 336 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2} - 12 x - 336$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 12 x - 336 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- x) - 336 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 336$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- x) + 12 (- 28) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (2 x^{2} - x) + 12 (- 28) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2} - x) + 12 (- 28)$ .

$12 (2 x^{2} - x - 28) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 28 = - 56$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$12 (2 x^{2} - (x) - 28) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $7$ plus $- 8$

$12 (2 x^{2} + (7 - 8) x - 28) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 x^{2} + 7 x - 8 x - 28) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((2 x^{2} + 7 x) - 8 x - 28) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x (2 x + 7) - 4 (2 x + 7)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 7$ .

$12 ((2 x + 7) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (2 x + 7) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x + 7$ égal à $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 7$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (2 x + 7) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{7}{2}, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{7}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{7}{2}$ .

$8 {(- \frac{7}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{343}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{343}{8}$ dans le numérateur.

$8 (\frac{- 343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{- 343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 343 - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{2}$ .

$- 343 - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$- 343 - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 343 - 6 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- 343 - 6 \frac{7^{2}}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.9

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 343 - 6 \frac{49}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 343 - 6 (\frac{49}{4}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$- 343 + 2 (- 3) \frac{49}{4} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 343 + 2 \cdot - 3 \frac{49}{2 \cdot 2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$- 343 + 2 \cdot - 3 \frac{49}{2 \cdot 2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$- 343 - 3 (\frac{49}{2}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.12

Associez $- 3$ et $\frac{49}{2}$ .

$- 343 + \frac{- 3 \cdot 49}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.13

Multipliez $- 3$ par $49$ .

$- 343 + \frac{- 147}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 343 - \frac{147}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$- 343 - \frac{147}{2} - 336 (\frac{- 7}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $- 336$ .

$- 343 - \frac{147}{2} + 2 (- 168) \frac{- 7}{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$- 343 - \frac{147}{2} + 2 \cdot - 168 \frac{- 7}{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$- 343 - \frac{147}{2} - 168 \cdot - 7 + 1$

Étape 4.1.2.1.16

Multipliez $- 168$ par $- 7$ .

$- 343 - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $- 343$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 343}{1} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 343}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 343}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Étape 4.1.2.2.4

Écrivez $1176$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176}{1} + 1$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{1176}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{1176}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + 1$

Étape 4.1.2.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 343 \cdot 2 - 147 + 1176 \cdot 2 + 2}{2}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 343$ par $2$ .

$\frac{- 686 - 147 + 1176 \cdot 2 + 2}{2}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $1176$ par $2$ .

$\frac{- 686 - 147 + 2352 + 2}{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $147$ de $- 686$ .

$\frac{- 833 + 2352 + 2}{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 833$ et $2352$ .

$\frac{1519 + 2}{2}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $1519$ et $2$ .

$\frac{1521}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$8 {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot 64 - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $8$ par $64$ .

$512 - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$512 - 6 \cdot 16 - 336 \cdot 4 + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$512 - 96 - 336 \cdot 4 + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 336$ par $4$ .

$512 - 96 - 1344 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $96$ de $512$ .

$416 - 1344 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $1344$ de $416$ .

$- 928 + 1$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $- 928$ et $1$ .

$- 927$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{7}{2}, \frac{1521}{2}), (4, - 927)$

Étape 5