Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $24 x^{2} - 36 x - 24$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$8 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 (- \frac{1}{2^{3}}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$8 (\frac{- 1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{- 1}{8}) - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$- 1 - 18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 18 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 18 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- 1 - 18 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 - 18 \frac{1}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 18 (\frac{1}{4}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$- 1 + 2 (- 9) \frac{1}{4} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 1 + 2 \cdot - 9 \frac{1}{2 \cdot 2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \cdot - 9 \frac{1}{2 \cdot 2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 9 (\frac{1}{2}) - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.12

Associez $- 9$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 1 + \frac{- 9}{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 - \frac{9}{2} - 24 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- 1 - \frac{9}{2} - 24 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$- 1 - \frac{9}{2} + 2 (- 12) \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 4.1.2.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$- 1 - \frac{9}{2} + 2 \cdot - 12 \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 4.1.2.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \frac{9}{2} - 12 \cdot - 1 + 8$

Étape 4.1.2.1.15

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$- 1 - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + 12 + 8$

Étape 4.1.2.2.4

Écrivez $12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12}{1} + 8$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12}{1} \cdot \frac{2}{2} + 8$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + 8$

Étape 4.1.2.2.7

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 9 + 12 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 12 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 24 + 8 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 9 + 24 + 16}{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$\frac{- 11 + 24 + 16}{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 11$ et $24$ .

$\frac{13 + 16}{2}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $13$ et $16$ .

$\frac{29}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$8 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$64 - 18 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$64 - 18 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $4$ .

$64 - 72 - 24 \cdot 2 + 8$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$64 - 72 - 48 + 8$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $72$ de $64$ .

$- 8 - 48 + 8$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $48$ de $- 8$ .

$- 56 + 8$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $- 56$ et $8$ .

$- 48$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{1}{2}, \frac{29}{2}), (2, - 48)$

Étape 5