Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \frac{54}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{54}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{54}{x}$ par rapport à $x$ est $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - 54 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 54$ .

$1 + 54 x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 54 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Associez $54$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{54}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{54}{x^{2}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{54}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$54 = - x^{2}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = 54$ .

$- x^{2} = 54$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 54$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 54$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{54}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{54}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $54$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 54$

Étape 2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 54}$ .

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez $- 54$ comme $- 1 (54)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (54)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

Étape 2.5.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

Étape 2.5.4.4

Réécrivez $54$ comme $3^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.5.4.4.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

Étape 2.5.4.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Étape 2.5.4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

Étape 2.5.4.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i \sqrt{6}$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{54}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x - \frac{54}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) - \frac{54}{0}$

Étape 4.1.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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