Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{30 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30 - x^{2}}$ comme ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 30 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $30 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $30 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (30) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.23

Multipliez ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.24

Pour écrire ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26

Multipliez ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.27

Simplifiez ${(30 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 30 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 30$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 30$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 30$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 30}{- 2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 30$ par $- 2$ .

$x^{2} = 15$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Étape 2.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{15}$

Étape 2.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{15}$

Étape 2.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{{(- x^{2} + 30)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 30} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 30}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 30}$ comme ${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 30)}^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 30 = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 30 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 30$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 30$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 30$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $- 30$ par $- 1$ .

$x^{2} = 30$

Étape 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{30}$

Étape 3.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{30}$

Étape 3.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{30}$

Étape 3.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{30}, - \sqrt{30}$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 30}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 30 < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 30$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 30$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 30$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 30}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Divisez $- 30$ par $- 1$ .

$x^{2} > 30$

Étape 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{30}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{30}$

Étape 3.5.5

Écrivez $| x | > \sqrt{30}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 3.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > \sqrt{30}$

Étape 3.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 3.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > \sqrt{30}$

Étape 3.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > \sqrt{30} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{30} & x < 0 \end{cases}$

Étape 3.5.6

Déterminez l’intersection de $x > \sqrt{30}$ et $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{30}$

Étape 3.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > \sqrt{30}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > \sqrt{30}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Étape 3.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Étape 3.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Étape 3.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{30}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{30}$

Étape 3.5.7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{30}$ comme $- \sqrt{30}$ .

$x < - \sqrt{30}$

Étape 3.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - \sqrt{30}$ ou $x > \sqrt{30}$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

Étape 4

Évaluez $x \sqrt{30 - x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{15}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{15}$ .

$(\sqrt{15}) \sqrt{30 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{15 (30 - {(\sqrt{15})}^{2})}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 (30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 4.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.1.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{15 (30 - 15^{1})}$

Étape 4.1.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{15 (30 - 1 \cdot 15)}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\sqrt{15 (30 - 15)}$

Étape 4.1.2.3.2

Soustrayez $15$ de $30$ .

$\sqrt{15 \cdot 15}$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $15$ par $15$ .

$\sqrt{225}$

Étape 4.1.2.3.4

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\sqrt{15^{2}}$

Étape 4.1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$15$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{15}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{15}$ .

$(- \sqrt{15}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{15}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2})}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{1}}$

Étape 4.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 1 \cdot 15}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $15$ de $30$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{15}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $- \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.6.1

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

Étape 4.2.2.6.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

Étape 4.2.2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sqrt{15}}^{1 + 1}$

Étape 4.2.2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- {\sqrt{15}}^{2}$

Étape 4.2.2.7

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.2.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 15^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 15^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 15^{1}$

Étape 4.2.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 \cdot 15$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{30}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{30}$ .

$(- \sqrt{30}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{30})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{30}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{1}}$

Étape 4.3.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 1 \cdot 30}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $30$ de $30$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{0}$

Étape 4.3.2.5.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.2.5.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \sqrt{30} \cdot 0$

Étape 4.3.2.6

Multipliez $- \sqrt{30} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \sqrt{30}$

Étape 4.3.2.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{30}$ .

$0$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \sqrt{30}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{30}$ .

$(\sqrt{30}) \sqrt{30 - {(\sqrt{30})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{30 (30 - {(\sqrt{30})}^{2})}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{30 (30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 4.4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 4.4.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.4.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{30 (30 - 30^{1})}$

Étape 4.4.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{30 (30 - 1 \cdot 30)}$

Étape 4.4.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$\sqrt{30 (30 - 30)}$

Étape 4.4.2.3.2

Soustrayez $30$ de $30$ .

$\sqrt{30 \cdot 0}$

Étape 4.4.2.3.3

Multipliez $30$ par $0$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.4.2.3.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.5

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{15}, 15), (- \sqrt{15}, - 15), (- \sqrt{30}, 0), (\sqrt{30}, 0)$

Étape 5