Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$20 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} - 12 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 12 x$ et $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} - 12 x$ .

$20 x^{3} - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$20 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $20 x^{3} - 12 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $20 x^{3}$ .

$4 x (5 x^{2}) - 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x$ .

$4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (5 x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $5 x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$5 x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 3$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{5}$

Étape 2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.5.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.5.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.5.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (5 x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{4} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{4}$ comme $15^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{4}{2}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{15^{\frac{2}{1}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$5 \frac{15^{2}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{225}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$5 (\frac{225}{625}) - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$5 \frac{225}{5 (125)} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{225}{5 \cdot 125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{225}{125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun à $225$ et $125$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $225$ .

$\frac{25 (9)}{125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.5.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{1}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{15}{25}) + 1$

Étape 4.2.2.1.9

Annulez le facteur commun à $15$ et $25$ .

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Étape 4.2.2.1.9.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 (3)}{25} + 1$

Étape 4.2.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.9.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Étape 4.2.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Étape 4.2.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{3}{5}) + 1$

Étape 4.2.2.1.10

Multipliez $- 6 (\frac{3}{5})$ .

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Étape 4.2.2.1.10.1

Associez $- 6$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 6 \cdot 3}{5} + 1$

Étape 4.2.2.1.10.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 18}{5} + 1$

Étape 4.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + 1$

Étape 4.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{9 - 18}{5}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$1 + \frac{- 9}{5}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{9}{5}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

Étape 4.2.2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 9}{5}$

Étape 4.2.2.2.2.5

Soustrayez $9$ de $5$ .

$\frac{- 4}{5}$

Étape 4.2.2.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{4} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{4}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$5 (1 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}$ par $1$ .

$5 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{4}$ comme $15^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{4}{2}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{15^{\frac{2}{1}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$5 \frac{15^{2}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.4.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{225}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$5 (\frac{225}{625}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$5 \frac{225}{5 (125)} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{225}{5 \cdot 125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{225}{125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.7

Annulez le facteur commun à $225$ et $125$ .

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Étape 4.3.2.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $225$ .

$\frac{25 (9)}{125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.7.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{9}{5} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2}) + 1$

Étape 4.3.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{9}{5} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 1$

Étape 4.3.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (1 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 1$

Étape 4.3.2.1.10

Multipliez $\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.3.2.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{1}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.11.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15}{5^{2}} + 1$

Étape 4.3.2.1.12

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{15}{25}) + 1$

Étape 4.3.2.1.13

Annulez le facteur commun à $15$ et $25$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 (3)}{25} + 1$

Étape 4.3.2.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.13.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Étape 4.3.2.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Étape 4.3.2.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{3}{5}) + 1$

Étape 4.3.2.1.14

Multipliez $- 6 (\frac{3}{5})$ .

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Étape 4.3.2.1.14.1

Associez $- 6$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 6 \cdot 3}{5} + 1$

Étape 4.3.2.1.14.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 18}{5} + 1$

Étape 4.3.2.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + 1$

Étape 4.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{9 - 18}{5}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$1 + \frac{- 9}{5}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{9}{5}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

Étape 4.3.2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 9}{5}$

Étape 4.3.2.2.2.5

Soustrayez $9$ de $5$ .

$\frac{- 4}{5}$

Étape 4.3.2.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{4}{5}), (- \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{4}{5})$

Étape 5