Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$15 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 x^{2} - 12 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $15 x^{2} - 12 x$ et $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{2} - 12 x$ .

$15 x^{2} - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{2} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $15 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$3 x (5 x) - 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x$ .

$3 x (5 x) + 3 x (- 4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (5 x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (5 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 4$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (5 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{4}{5}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{5}$ .

$5 {(\frac{4}{5})}^{3} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$5 \frac{4^{3}}{5^{3}} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$5 \frac{64}{5^{3}} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{64}{125}) - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$5 \frac{64}{5 (25)} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{64}{5 \cdot 25} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{25} - 6 {(\frac{4}{5})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$\frac{64}{25} - 6 \frac{4^{2}}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{25} - 6 \frac{16}{5^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{25} - 6 (\frac{16}{25}) + 1$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $- 6 (\frac{16}{25})$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Associez $- 6$ et $\frac{16}{25}$ .

$\frac{64}{25} + \frac{- 6 \cdot 16}{25} + 1$

Étape 4.2.2.1.8.2

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$\frac{64}{25} + \frac{- 96}{25} + 1$

Étape 4.2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{64}{25} - \frac{96}{25} + 1$

Étape 4.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{64 - 96}{25}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Soustrayez $96$ de $64$ .

$1 + \frac{- 32}{25}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{32}{25}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{25}{25} - \frac{32}{25}$

Étape 4.2.2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 32}{25}$

Étape 4.2.2.2.2.5

Soustrayez $32$ de $25$ .

$\frac{- 7}{25}$

Étape 4.2.2.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{25}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 1), (\frac{4}{5}, - \frac{7}{25})$

Étape 5