Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{4} - 16 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 x^{3} - 16 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 16$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} - 16$ .

$20 x^{3} - 16$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} - 16 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$20 x^{3} - 16 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$20 x^{3} = 16$

Étape 2.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$20 x^{3} - 16 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3} - 16$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3}$ .

$4 (5 x^{3}) - 16 = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$4 (5 x^{3}) + 4 (- 4) = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 x^{3}) + 4 (- 4)$ .

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $5 x^{3} - 4$ par $1$ .

$5 x^{3} - 4 = \frac{0}{4}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$5 x^{3} - 4 = 0$

Étape 2.6

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{3} = 4$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $5 x^{3} = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{3} = 4$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{4}{5}$

Étape 2.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$

Étape 2.9

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 2.9.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 2.9.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.9.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 2.9.3.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 2.9.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Étape 2.9.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Étape 2.9.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

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Étape 2.9.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 2.9.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 2.9.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.9.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.9.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.9.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Étape 2.9.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Étape 2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Étape 2.9.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{25}}{5}$

Étape 2.9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot 25}}{5}$

Étape 2.9.5.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{4} - 16 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$5 {(\frac{\sqrt[3]{100}}{5})}^{4} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$5 \frac{{\sqrt[3]{100}}^{4}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{100}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{100^{4}}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{4}}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $100$ à la puissance $4$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100000000}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez $100000000$ comme $100^{3} \cdot 100$ .

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Étape 4.1.2.1.2.3.1

Factorisez $1000000$ à partir de $100000000$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{1000000 (100)}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.2.3.2

Réécrivez $1000000$ comme $100^{3}$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{3} \cdot 100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{625} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 (125)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 \cdot 125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{100 \sqrt[3]{100}}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun à $100$ et $125$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $100 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.5.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 (5)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 \cdot 5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.6

Associez $- 16$ et $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} + \frac{- 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - \frac{16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \sqrt[3]{100} - 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $16 \sqrt[3]{100}$ de $4 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{- 12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{\sqrt[3]{100}}{5}, - \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5})$

Étape 5