Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x) + 12 x (1) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2 x)$ .

$12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2} - 2 x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$12 x {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 + 6 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$3 {(1)}^{4} - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 8 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 2$

Étape 4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 8 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 2$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 - 8 + 6 {(1)}^{2} + 2$

Étape 4.2.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 8 + 6 \cdot 1 + 2$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 - 8 + 6 + 2$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 5 + 6 + 2$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$1 + 2$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 2), (1, 3)$

Étape 5