Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Étape 1.1.6.2

Additionnez $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ .

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 2.2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez.

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Étape 2.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.6

Factorisez.

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Étape 2.2.6.1

Associez les exposants.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.6.1.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $12$ par $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1 - 6 + 12 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$- 7 + 12 + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$5 + 1$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$6$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $3$ et $4$ .

$7 - 6 - 12 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $6$ de $7$ .

$1 - 12 + 1$

Étape 4.2.2.2.3

Soustrayez $12$ de $1$ .

$- 11 + 1$

Étape 4.2.2.2.4

Additionnez $- 11$ et $1$ .

$- 10$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

Étape 5