Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 36 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 36 x$ .

$12 x^{3} - 36 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 36 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 3)$ .

$12 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{4} - 18 x^{2} + 15$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 18 {(0)}^{2} + 15$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 18 \cdot 0 + 15$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$0 + 0 + 15$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 15$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $15$ .

$15$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{3}$ .

$3 {(\sqrt{3})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3} - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 18 {(\sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Étape 4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Étape 4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 4.2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$27 - 18 \cdot 3^{1} + 15$

Étape 4.2.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$27 - 54 + 15$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$- 27 + 15$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $15$ .

$- 12$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{3}$ .

$3 {(- \sqrt{3})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$3 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$3 {\sqrt{3}}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3} - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 18 {(- \sqrt{3})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$27 - 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Étape 4.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$27 - 18 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 15$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$27 - 18 {\sqrt{3}}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 - 18 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 15$

Étape 4.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 15$

Étape 4.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 4.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$27 - 18 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 15$

Étape 4.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$27 - 18 \cdot 3^{1} + 15$

Étape 4.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$27 - 18 \cdot 3 + 15$

Étape 4.3.2.1.11

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$27 - 54 + 15$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$- 27 + 15$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $15$ .

$- 12$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 15), (\sqrt{3}, - 12), (- \sqrt{3}, - 12)$

Étape 5