Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.7

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.8

Associez $3$ et $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.10

Factorisez $3$ à partir de $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.3.9

Associez $- 15$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.1.3.10

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.3.12

Factorisez $3$ à partir de $- 30$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 10 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 10$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 10$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 10$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $10$ par $5$ .

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.6

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Étape 4.2.2.1.10

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Étape 5