Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{4}{9}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$- 4 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $\frac{4}{9}$ et $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$- 4 + 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Étape 1.1.3.9

Associez $9$ et $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$- 4 + \frac{9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Étape 1.1.3.10

Multipliez $4$ par $9$ .

$- 4 + \frac{36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Étape 1.1.3.11

Placez $x^{- \frac{5}{9}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Étape 1.1.3.12

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Étape 1.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.13.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Étape 1.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Étape 1.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{5}{9}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ par $x^{\frac{5}{9}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ par $x^{\frac{5}{9}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{5}{9}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ .

$4 x^{\frac{5}{9}} = 4$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ par $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{5}{9}}$ par $1$ .

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{9}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $9$ .

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{9}}$ .

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{5} = 0^{9}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{5} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 3.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$- 4 \cdot 1 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 + 9 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 4 + 9$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$5$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- 4 \cdot 0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{9}$ .

$0 + 9 {(0^{9})}^{\frac{4}{9}}$

Étape 4.2.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 9 \cdot 0^{4}$

Étape 4.2.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 9 \cdot 0$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 5), (0, 0)$

Étape 5