Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 48 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 48$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 48$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $48$ par $12$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 x^{3} - 48 x - 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$4 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2 - 4$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 8 - 48 \cdot 2 - 4$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 - 48 \cdot 2 - 4$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 48$ par $2$ .

$32 - 96 - 4$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $96$ de $32$ .

$- 64 - 4$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $4$ de $- 64$ .

$- 68$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2 - 4$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2 - 4$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$- 32 - 48 \cdot - 2 - 4$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 48$ par $- 2$ .

$- 32 + 96 - 4$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $96$ .

$64 - 4$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $64$ .

$60$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - 68), (- 2, 60)$

Étape 5