Calcul infinitésimal Exemples

$y \cos (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 4 (2 y y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x + 8 y y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 y y' + 4 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 4 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 4 x$

Étape 5.2

Soustrayez $8 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x$

Étape 5.3

Ajoutez $y \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x) - 8 y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ .

$y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ par $\cos (x) - 8 y$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ par $\cos (x) - 8 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x) - 8 y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$