Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{2} + x y + 6 y^{2} = 13$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 x^{2} + x y + 6 y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + x y + 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$12 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$12 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 x + x y' + y + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$12 x + x y' + y + 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x + x y' + y + 6 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$12 x + x y' + y + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 x + x y' + y + 6 (2 y y')$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + x y' + y + 12 y y'$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 12 y y' + 12 x + y$

Étape 3

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 12 y y' + 12 x + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 12 y y' + y = - 12 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 12 y y' = - 12 x - y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 12 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 12 y y' = - 12 x - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $12 y y'$ .

$y' (x) + y' (12 y) = - 12 x - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (12 y)$ .

$y' (x + 12 y) = - 12 x - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 12 y) = - 12 x - y$ par $x + 12 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 12 y) = - 12 x - y$ par $x + 12 y$ .

$\frac{y' (x + 12 y)}{x + 12 y} = \frac{- 12 x}{x + 12 y} + \frac{- y}{x + 12 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 12 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 12 y)}{x + 12 y} = \frac{- 12 x}{x + 12 y} + \frac{- y}{x + 12 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 12 x}{x + 12 y} + \frac{- y}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 12 x - y}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x$ .

$y' = \frac{- (12 x) - y}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (12 x) - (y)}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (12 x + y)}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (12 x + y)$ comme $- 1 (12 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (12 x + y)}{x + 12 y}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{12 x + y}{x + 12 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 x + y}{x + 12 y}$