Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 4$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.2.11.4

Divisez $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ et $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Étape 2.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Simplifiez ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.1.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.1.1.4

Simplifiez

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$36 x = 576$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $36 x = 576$ par $36$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $36 x = 576$ par $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $576$ par $36$ .

$x = 16$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Étape 3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 4

Évaluez $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 16$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $16$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $24$ par $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $- 256$ et $384$ .

$128 + 13$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $128$ et $13$ .

$141$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(16, 141)$

Étape 5