Calcul infinitésimal Exemples

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y (x + 1) + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Étape 2.4.2

Multipliez $y'$ par $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 2 x + y + y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Étape 5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) = - 2 x - y$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) = - 2 x - y$ par $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$