Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Étape 2.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

Étape 5.2.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

Étape 5.3

Soustrayez $y' e^{x^{2} + y}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Étape 5.4

Soustrayez $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 e^{x^{2} + y}$ comme $- e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ par $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ par $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$