Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 x^{3} - 18 x^{2} - 30 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} - 18 x^{2} - 30 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$- 6 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} - 36 x - 30 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{2} - 36 x - 30 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} - 36 x - 30$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} - 36 x - 30$ .

$- 6 x^{2} - 36 x - 30$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{2} - 36 x - 30 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x^{2} - 36 x - 30 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{2} - 36 x - 30$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 36 x - 30 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 6$ à partir de $- 36 x$ .

$- 6 x^{2} - 6 (6 x) - 30 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 6$ à partir de $- 30$ .

$- 6 x^{2} - 6 (6 x) - 6 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 (x^{2}) - 6 (6 x)$ .

$- 6 (x^{2} + 6 x) - 6 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 (x^{2} + 6 x) - 6 (5)$ .

$- 6 (x^{2} + 6 x + 5) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 6 ((x + 1) (x + 5)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 6 (x + 1) (x + 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 (x + 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 5$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- 2 x^{3} - 18 x^{2} - 30 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$- 2 {(- 1)}^{3} - 18 {(- 1)}^{2} - 30 \cdot - 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot - 1 - 18 {(- 1)}^{2} - 30 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 - 18 {(- 1)}^{2} - 30 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 - 18 \cdot 1 - 30 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$2 - 18 - 30 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 30$ par $- 1$ .

$2 - 18 + 30$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $18$ de $2$ .

$- 16 + 30$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $30$ .

$14$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 5$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

$- 2 {(- 5)}^{3} - 18 {(- 5)}^{2} - 30 \cdot - 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot - 125 - 18 {(- 5)}^{2} - 30 \cdot - 5$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 125$ .

$250 - 18 {(- 5)}^{2} - 30 \cdot - 5$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$250 - 18 \cdot 25 - 30 \cdot - 5$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $25$ .

$250 - 450 - 30 \cdot - 5$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 30$ par $- 5$ .

$250 - 450 + 150$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $450$ de $250$ .

$- 200 + 150$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 200$ et $150$ .

$- 50$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 14), (- 5, - 50)$

Étape 5