Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y + e^{2 x}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ .

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $y' + 2 e^{2 x}$ par $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y + e^{2 x}$ .

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y + e^{2 x}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

Étape 5.3

Soustrayez $2 e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$