Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.3.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 1.1.3.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ par $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - 2 x^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{3} = 2$ .

$- 2 x^{3} = 2$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3} - 2$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Étape 2.5.3.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Étape 2.5.3.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Étape 2.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4

Factorisez.

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Étape 2.5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.5.3.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Étape 2.5.3.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Étape 2.5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5.6

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2.5.6.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 - 1$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 3)$

Étape 5