Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 - 5 x + x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 5 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 5 + 2 x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5 + 2 x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - 5$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 5$ .

$2 x - 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 5 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 - 5 x + x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{2}$ .

$2 - 5 (\frac{5}{2}) + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 5 (\frac{5}{2})$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$2 + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$2 + \frac{- 25}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - \frac{25}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$2 - \frac{25}{2} + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 - \frac{25}{2} + \frac{25}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{1} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25}{2} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 4 - 25 \cdot 2 + 25}{4}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 - 25 \cdot 2 + 25}{4}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{8 - 50 + 25}{4}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $50$ de $8$ .

$\frac{- 42 + 25}{4}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 42$ et $25$ .

$\frac{- 17}{4}$

Étape 4.1.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{4}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{5}{2}, - \frac{17}{4})$

Étape 5