Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x {(8 - x)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(8 - x)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(8 - x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(8 - x)}^{3})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(8 - x)}^{3}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 8 - x$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (8 - x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(8 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2} \cdot 1) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.4.9

Multipliez ${(8 - x)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2}) + {(8 - x)}^{3})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x (- 3 {(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (x) = - 6 (x ({(8 - x)}^{2})) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Étape 1.1.5.3

Factorisez $2 {(8 - x)}^{2}$ à partir de $- 6 x {(8 - x)}^{2} + 2 {(8 - x)}^{3}$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Factorisez $2 {(8 - x)}^{2}$ à partir de $- 6 x {(8 - x)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{3}$

Étape 1.1.5.3.2

Factorisez $2 {(8 - x)}^{2}$ à partir de $2 {(8 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$

Étape 1.1.5.3.3

Factorisez $2 {(8 - x)}^{2}$ à partir de $2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(8 - x)}^{2} (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 3 x + 8 - x)$

Étape 1.1.5.4

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 2 {(8 - x)}^{2} (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.5

Réécrivez ${(8 - x)}^{2}$ comme $(8 - x) (8 - x)$ .

$f' (x) = 2 ((8 - x) (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.6

Développez $(8 - x) (8 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (8 (8 - x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x (8 - x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.7.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f' (x) = 2 (64 + 8 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - x \cdot 8 - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - x (- x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (64 - 8 x - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.7.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = 2 (64 - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (2 \cdot 64 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.9

Simplifiez

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Étape 1.1.5.9.1

Multipliez $2$ par $64$ .

$f' (x) = (128 + 2 (- 16 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.9.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$f' (x) = (128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$

Étape 1.1.5.10

Développez $(128 - 32 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = 128 (- 4 x) + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.11.1

Multipliez $- 4$ par $128$ .

$f' (x) = - 512 x + 128 \cdot 8 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.2

Multipliez $128$ par $8$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 x (- 4 x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x \cdot x) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 - 32 \cdot (- 4 x^{2}) - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.5

Multipliez $- 32$ par $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 32 x \cdot 8 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.6

Multipliez $8$ par $- 32$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.8.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.11.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x + 2 \cdot (- 4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 8$

Étape 1.1.5.11.10

Multipliez $8$ par $2$ .

$f' (x) = - 512 x + 1024 + 128 x^{2} - 256 x - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Étape 1.1.5.12

Soustrayez $256 x$ de $- 512 x$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 + 128 x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Étape 1.1.5.13

Additionnez $128 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$f' (x) = - 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 768 x + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 768 x$ .

$8 (- 96 x) + 1024 - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $8$ à partir de $1024$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) - 8 x^{3} + 144 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 144 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $8$ à partir de $144 x^{2}$ .

$8 (- 96 x) + 8 (128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 96 x) + 8 (128)$ .

$8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 96 x + 128) + 8 (- x^{3})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 96 x + 128 - x^{3}) + 8 (18 x^{2})$ .

$8 (- 96 x + 128 - x^{3} + 18 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 (- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Étape 2.2.3.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$- 2^{3} + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 + 18 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 18 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.5

Multipliez $18$ par $4$ .

$- 8 + 72 - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.6

Additionnez $- 8$ et $72$ .

$64 - 96 \cdot 2 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.7

Multipliez $- 96$ par $2$ .

$64 - 192 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.8

Soustrayez $192$ de $64$ .

$- 128 + 128$

Étape 2.2.3.1.3.9

Additionnez $- 128$ et $128$ .

$0$

Étape 2.2.3.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128}{x - 2}$

Étape 2.2.3.1.5

Divisez $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ par $x - 2$ .

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Étape 2.2.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$96 x$

$128$

Étape 2.2.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$

Étape 2.2.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Étape 2.2.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$

Étape 2.2.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$32 x$

Étape 2.2.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x^{2} - 32 x$

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 2.2.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$

Étape 2.2.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Étape 2.2.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 64 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$

Étape 2.2.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							-	$64 x$	+	$128$

Étape 2.2.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 64 x + 128$

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$

Étape 2.2.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$16 x$	-	$64$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$96 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	-	$96 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$32 x$
							-	$64 x$	+	$128$
							+	$64 x$	-	$128$
										$0$

Étape 2.2.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 16 x - 64$

Étape 2.2.3.1.6

Écrivez $- x^{3} + 18 x^{2} - 96 x + 128$ comme un ensemble de facteurs.

$8 ((x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 x - 64) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ et dont la somme est $b = 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$8 (x - 2) (- x^{2} + 16 (x) - 64) = 0$

Étape 2.2.4.1.1.2

Réécrivez $16$ comme $8$ plus $8$

$8 (x - 2) (- x^{2} + (8 + 8) x - 64) = 0$

Étape 2.2.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x - 2) (- x^{2} + 8 x + 8 x - 64) = 0$

Étape 2.2.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$8 (x - 2) ((- x^{2} + 8 x) + 8 x - 64) = 0$

Étape 2.2.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$8 (x - 2) (x (- x + 8) - 8 (- x + 8)) = 0$

Étape 2.2.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 8$ .

$8 (x - 2) ((- x + 8) (x - 8)) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 (x - 2) (- x + 8) (x - 8) = 0$

Étape 2.2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$8 (x - 2) (- (x) + 8) (x - 8) = 0$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x) - 1 \cdot - 8) (x - 8) = 0$

Étape 2.2.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$8 (x - 2) (- (x - 8)) (x - 8) = 0$

Étape 2.2.5.4

Réécrivez $- (x - 8)$ comme $- 1 (x - 8)$ .

$8 (x - 2) (- 1 (x - 8)) (x - 8) = 0$

Étape 2.2.5.5

Supprimez les parenthèses.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 (x - 8) (x - 8)) = 0$

Étape 2.2.5.6

Élevez $x - 8$ à la puissance $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Étape 2.2.5.7

Élevez $x - 8$ à la puissance $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 ((x - 8) (x - 8))) = 0$

Étape 2.2.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{1 + 1}) = 0$

Étape 2.2.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (x - 2) \cdot (- 1 {(x - 8)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.5.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 8)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 8)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 8)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 8 (x - 2) {(x - 8)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2, 8$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 x {(8 - x)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$2 (2) {(8 - (2))}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 {(8 - (2))}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 {(8 - 2)}^{3}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $2$ de $8$ .

$4 \cdot 6^{3}$

Étape 4.1.2.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 216$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $4$ par $216$ .

$864$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $8$ .

$2 (8) {(8 - (8))}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 {(8 - (8))}^{3}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$16 {(8 - 8)}^{3}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $8$ de $8$ .

$16 \cdot 0^{3}$

Étape 4.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 \cdot 0$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $16$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, 864), (8, 0)$

Étape 5