Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 4 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x + 4$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x + 4$ .

$4 x + 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x + 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 4$ par $4$ .

$x = - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 x^{2} + 4 x + 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 1 + 4 (- 1) + 5$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 4 (- 1) + 5$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 - 4 + 5$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 2 + 5$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$3$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 1, 3)$

Étape 5