Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 32 \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 32 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3.2

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.10

Associez $- 32$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.3.12

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$4 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$4 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $4 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{\frac{3}{2}} = 16$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$4^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$4^{\frac{2}{3}} x^{1} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez

$4^{\frac{2}{3}} x = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 4^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $x \cdot 4^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ par $4^{\frac{2}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 4^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ par $4^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{4})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.4.3.2

Divisez $16$ par $4$ .

$x = 4^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$4 x - \frac{16}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$4 x - \frac{16}{\sqrt{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{16}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $2 x^{2} - 32 \sqrt{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 4^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $4^{\frac{2}{3}}$ .

$2 {(4^{\frac{2}{3}})}^{2} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(4^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 4^{\frac{2}{3} \cdot 2} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$2 \cdot 4^{\frac{2 \cdot 2}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \cdot 4^{\frac{4}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $2 \cdot 4^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{4}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{4}{3})} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $2 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 4.1.2.2.2.2.1

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 4}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$2 \cdot 2^{\frac{8}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + \frac{8}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2^{\frac{3}{3} + \frac{8}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{3 + 8}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.2.6

Additionnez $3$ et $8$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 32 \sqrt{4^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $4^{\frac{2}{3}}$ comme ${(4^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 32 \sqrt{{(4^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2^{\frac{11}{3}} - 32 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 32 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Factorisez le signe négatif.

$2^{\frac{11}{3}} - (32 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.5.2

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - (2^{5} \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - (2^{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.5.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - (2^{5} \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})$

Étape 4.1.2.5.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - (2^{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{5 + \frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.5.6

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.5.7

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{\frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{\frac{5 \cdot 3 + 2}{3}}$

Étape 4.1.2.5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.9.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{\frac{15 + 2}{3}}$

Étape 4.1.2.5.9.2

Additionnez $15$ et $2$ .

$2^{\frac{11}{3}} - 2^{\frac{17}{3}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 {(0)}^{2} - 32 \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 - 32 \sqrt{0}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - 32 \sqrt{0}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - 32 \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0 - 32 \cdot 0$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(4^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{11}{3}} - 2^{\frac{17}{3}}), (0, 0)$

Étape 5