Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 16 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 16 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 48 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 48 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 48 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 48 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 48 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 48 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 u^{2} - 48 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2} - 48 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2}$ .

$u (5 u) - 48 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- 48 u$ .

$u (5 u) + u \cdot - 48 = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (5 u) + u \cdot - 48$ .

$u (5 u - 48) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 48) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 48 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 x^{2} - 48$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $5 x^{2} - 48$ égal à $0$ .

$5 x^{2} - 48 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 x^{2} - 48 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} = 48$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 48$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} = 48$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{48}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{48}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{5}$

Étape 2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{48}{5}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{48}{5}}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{48}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.2.1

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.4.2.1.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (3)}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Étape 2.5.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Étape 2.5.2.4.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{4 \sqrt{15}}{5}, - \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (5 x^{2} - 48) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4 \sqrt{15}}{5}, - \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{5} - 16 x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{5} - 16 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 16 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 16 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

${(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{{(4 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{15}$ .

$\frac{4^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{1024 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{5}$ comme $\sqrt{15^{5}}$ .

$\frac{1024 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Élevez $15$ à la puissance $5$ .

$\frac{1024 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.4

Réécrivez $759375$ comme $225^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.2.2.1.2.4.1

Factorisez $50625$ à partir de $759375$ .

$\frac{1024 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.4.2

Réécrivez $50625$ comme $225^{2}$ .

$\frac{1024 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1024 \cdot 225 \sqrt{15}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2.6

Multipliez $1024$ par $225$ .

$\frac{230400 \sqrt{15}}{5^{5}} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{230400 \sqrt{15}}{3125} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $230400$ et $3125$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $230400 \sqrt{15}$ .

$\frac{25 (9216 \sqrt{15})}{3125} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$\frac{25 (9216 \sqrt{15})}{25 (125)} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (9216 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{{(4 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{15}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{4^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.6.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{3}$ comme $\sqrt{15^{3}}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.3

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 \sqrt{3375}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.4

Réécrivez $3375$ comme $15^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.2.2.1.6.4.1

Factorisez $225$ à partir de $3375$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.4.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{64 \cdot 15 \sqrt{15}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.6.6

Multipliez $64$ par $15$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{960 \sqrt{15}}{5^{3}}$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{960 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.2.2.1.8

Annulez le facteur commun à $960$ et $125$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $960 \sqrt{15}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{5 (192 \sqrt{15})}{125}$

Étape 4.2.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{5 (192 \sqrt{15})}{5 (25)}$

Étape 4.2.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{5 (192 \sqrt{15})}{5 \cdot 25}$

Étape 4.2.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 \frac{192 \sqrt{15}}{25}$

Étape 4.2.2.1.9

Multipliez $- 16 \frac{192 \sqrt{15}}{25}$ .

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Étape 4.2.2.1.9.1

Associez $- 16$ et $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 16 (192 \sqrt{15})}{25}$

Étape 4.2.2.1.9.2

Multipliez $192$ par $- 16$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 3072 \sqrt{15}}{25}$

Étape 4.2.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - \frac{3072 \sqrt{15}}{25}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{3072 \sqrt{15}}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - \frac{3072 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{3072 \sqrt{15}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - \frac{3072 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$\frac{9216 \sqrt{15}}{125} - \frac{3072 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9216 \sqrt{15} - 3072 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $5$ par $- 3072$ .

$\frac{9216 \sqrt{15} - 15360 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $15360 \sqrt{15}$ de $9216 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 6144 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6144 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

${(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

${(- 1)}^{5} {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

${(- 1)}^{5} \frac{{(4 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{15}$ .

${(- 1)}^{5} \frac{4^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- \frac{4^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$- \frac{1024 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{5}$ comme $\sqrt{15^{5}}$ .

$- \frac{1024 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.3

Élevez $15$ à la puissance $5$ .

$- \frac{1024 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.4

Réécrivez $759375$ comme $225^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.3.2.1.3.4.1

Factorisez $50625$ à partir de $759375$ .

$- \frac{1024 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.4.2

Réécrivez $50625$ comme $225^{2}$ .

$- \frac{1024 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{1024 \cdot 225 \sqrt{15}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3.6

Multipliez $1024$ par $225$ .

$- \frac{230400 \sqrt{15}}{5^{5}} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$- \frac{230400 \sqrt{15}}{3125} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5

Annulez le facteur commun à $230400$ et $3125$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $230400 \sqrt{15}$ .

$- \frac{25 (9216 \sqrt{15})}{3125} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.5.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$- \frac{25 (9216 \sqrt{15})}{25 (125)} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{25 (9216 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 {(- \frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3}$

Étape 4.3.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 \sqrt{15}}{5})}^{3})$

Étape 4.3.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.6.3

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{15}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{4^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.8.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{3}$ comme $\sqrt{15^{3}}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.3

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 \sqrt{3375}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.4

Réécrivez $3375$ comme $15^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.3.2.1.8.4.1

Factorisez $225$ à partir de $3375$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.4.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{64 \cdot 15 \sqrt{15}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.8.6

Multipliez $64$ par $15$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{960 \sqrt{15}}{5^{3}})$

Étape 4.3.2.1.9

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{960 \sqrt{15}}{125})$

Étape 4.3.2.1.10

Annulez le facteur commun à $960$ et $125$ .

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Étape 4.3.2.1.10.1

Factorisez $5$ à partir de $960 \sqrt{15}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{5 (192 \sqrt{15})}{125})$

Étape 4.3.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{5 (192 \sqrt{15})}{5 (25)})$

Étape 4.3.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{5 (192 \sqrt{15})}{5 \cdot 25})$

Étape 4.3.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} - 16 (- \frac{192 \sqrt{15}}{25})$

Étape 4.3.2.1.11

Multipliez $- 16 (- \frac{192 \sqrt{15}}{25})$ .

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Étape 4.3.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + 16 \frac{192 \sqrt{15}}{25}$

Étape 4.3.2.1.11.2

Associez $16$ et $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{16 (192 \sqrt{15})}{25}$

Étape 4.3.2.1.11.3

Multipliez $192$ par $16$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{3072 \sqrt{15}}{25}$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $\frac{3072 \sqrt{15}}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{3072 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{3072 \sqrt{15}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{3072 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$- \frac{9216 \sqrt{15}}{125} + \frac{3072 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9216 \sqrt{15} + 3072 \sqrt{15} \cdot 5}{125}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $5$ par $3072$ .

$\frac{- 9216 \sqrt{15} + 15360 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.3.2.5.2

Additionnez $- 9216 \sqrt{15}$ et $15360 \sqrt{15}$ .

$\frac{6144 \sqrt{15}}{125}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{4 \sqrt{15}}{5}, - \frac{6144 \sqrt{15}}{125}), (- \frac{4 \sqrt{15}}{5}, \frac{6144 \sqrt{15}}{125})$

Étape 5