Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 8 x - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 8 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 8$ .

$3 x^{2} - 8$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 8 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 8$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{3}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{8}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 8 x - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(\frac{2 \sqrt{6}}{3})}^{3} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$\frac{{(2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 {\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$\frac{8 \sqrt{6^{3}}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 \sqrt{216}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.4

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.1.2.1.2.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$\frac{8 \sqrt{36 (6)}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8 \cdot 6 \sqrt{6}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.2.6

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{3^{3}} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{27} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $48$ et $27$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $48 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (16 \sqrt{6})}{27} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (16 \sqrt{6})}{3 (9)} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (16 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} - 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 (2 \sqrt{6})}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 16 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} - \frac{16 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{16 \sqrt{6}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} - \frac{16 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{16 \sqrt{6}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} - \frac{16 \sqrt{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 3$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6}}{9} - \frac{16 \sqrt{6} \cdot 3}{9} - 3$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 \sqrt{6} - 16 \sqrt{6} \cdot 3}{9} - 3$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1.1

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$\frac{16 \sqrt{6} - 48 \sqrt{6}}{9} - 3$

Étape 4.1.2.5.1.2

Soustrayez $48 \sqrt{6}$ de $16 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 32 \sqrt{6}}{9} - 3$

Étape 4.1.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 \sqrt{6}}{9} - 3$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{6}}{3})}^{3} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{6}}{3})}^{3} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8 {\sqrt{6}}^{3}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$- \frac{8 \sqrt{6^{3}}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8 \sqrt{216}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.4

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.2.2.1.3.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$- \frac{8 \sqrt{36 (6)}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{8 \cdot 6 \sqrt{6}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.3.6

Multipliez $8$ par $6$ .

$- \frac{48 \sqrt{6}}{3^{3}} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{48 \sqrt{6}}{27} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun à $48$ et $27$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $48 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (16 \sqrt{6})}{27} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{3 (16 \sqrt{6})}{3 (9)} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (16 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} - 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) - 3$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 8 (- \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + 8 \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.2.2.1.6.2

Associez $8$ et $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 (2 \sqrt{6})}{3} - 3$

Étape 4.2.2.1.6.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{16 \sqrt{6}}{3} - 3$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $\frac{16 \sqrt{6}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{16 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{16 \sqrt{6}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{16 \sqrt{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 3$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{16 \sqrt{6}}{9} + \frac{16 \sqrt{6} \cdot 3}{9} - 3$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16 \sqrt{6} + 16 \sqrt{6} \cdot 3}{9} - 3$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{- 16 \sqrt{6} + 48 \sqrt{6}}{9} - 3$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 16 \sqrt{6}$ et $48 \sqrt{6}$ .

$\frac{32 \sqrt{6}}{9} - 3$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{32 \sqrt{6}}{9} - 3), (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{32 \sqrt{6}}{9} - 3)$

Étape 5