Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 16$ et $c = - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $256$ et $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $496$ comme $4^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $256$ et $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $496$ comme $4^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $256$ et $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $496$ comme $4^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $64$ .

$\frac{512 + 192 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.4

Multipliez $2$ par $192$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (2^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.9

Multipliez $24 (4 \cdot 31)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.9.1

Multipliez $4$ par $31$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.9.2

Multipliez $24$ par $124$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 2^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.12

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{3}$ comme $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.13

Élevez $31$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.14

Réécrivez $29791$ comme $31^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.14.1

Factorisez $961$ à partir de $29791$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.14.2

Réécrivez $961$ comme $31^{2}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.4.16

Multipliez $31$ par $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.5

Additionnez $512$ et $2976$ .

$\frac{3488 + 384 \sqrt{31} + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.6

Additionnez $384 \sqrt{31}$ et $248 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.9

Réécrivez ${(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}$ comme $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.10

Développez $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 + 2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.4

Multipliez $2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.4.2

Élevez $\sqrt{31}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.4.3

Élevez $\sqrt{31}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $31$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.2

Additionnez $64$ et $124$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.11.3

Additionnez $16 \sqrt{31}$ et $16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.12

Associez $- 8$ et $\frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.1.2.1.14

Associez $- 20$ et $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.1.2.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $188$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $32$ par $- 8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.5

Multipliez $- 1504$ par $3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.6

Multipliez $3$ par $- 256$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.8

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.9

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.11

Multipliez $- 160$ par $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.12

Multipliez $9$ par $- 40$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $4512$ de $3488$ .

$\frac{- 1024 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $1440$ de $- 1024$ .

$\frac{- 2464 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5.3

Soustrayez $768 \sqrt{31}$ de $632 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 136 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5.4

Soustrayez $360 \sqrt{31}$ de $- 136 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5.5

Réécrivez $- 2464$ comme $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) - 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.1.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})}{27}$

Étape 4.1.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 + 496 \sqrt{31})}{27}$

Étape 4.1.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $64$ .

$\frac{512 + 192 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Multipliez $- 2$ par $192$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.6

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.9

Multipliez $24 (4 \cdot 31)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.9.1

Multipliez $4$ par $31$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.9.2

Multipliez $24$ par $124$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.10

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{31}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.11

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.12

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{3}$ comme $\sqrt{31^{3}}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.13

Élevez $31$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.14

Réécrivez $29791$ comme $31^{2} \cdot 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.14.1

Factorisez $961$ à partir de $29791$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.14.2

Réécrivez $961$ comme $31^{2}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.4.16

Multipliez $31$ par $- 8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $512$ et $2976$ .

$\frac{3488 - 384 \sqrt{31} - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.6

Soustrayez $248 \sqrt{31}$ de $- 384 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.9

Réécrivez ${(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}$ comme $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.10

Développez $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 - 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.4.2

Élevez $\sqrt{31}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.4.3

Élevez $\sqrt{31}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{31}}^{2}$ comme $31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31}$ comme $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $31$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.2

Additionnez $64$ et $124$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.11.3

Soustrayez $16 \sqrt{31}$ de $- 16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.12

Associez $- 8$ et $\frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.2.2.1.14

Associez $- 20$ et $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.2.2.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Étape 4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $188$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.3

Multipliez $- 32$ par $- 8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 + 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.5

Multipliez $- 1504$ par $3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.6

Multipliez $3$ par $256$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.8

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.9

Multipliez $- 2$ par $- 20$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 + 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.11

Multipliez $- 160$ par $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Étape 4.2.2.4.12

Multipliez $9$ par $40$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1

Soustrayez $4512$ de $3488$ .

$\frac{- 1024 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $1440$ de $- 1024$ .

$\frac{- 2464 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5.3

Additionnez $- 632 \sqrt{31}$ et $768 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 136 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5.4

Additionnez $136 \sqrt{31}$ et $360 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5.5

Réécrivez $- 2464$ comme $- 1 (2464)$ .

$\frac{- 1 (2464) + 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.2.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $496 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})}{27}$

Étape 4.2.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})$ .

$\frac{- 1 (2464 - 496 \sqrt{31})}{27}$

Étape 4.2.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}), (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27})$

Étape 5