Calcul infinitésimal Exemples

$x + \frac{25}{x}$

Étape 1

Écrivez $x + \frac{25}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x + \frac{25}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{25}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{25}{x}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 25 (- x^{- 2})$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$1 - 25 x^{- 2}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 25 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Associez $- 25$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 25}{x^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{25}{x^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{25}{x^{2}} + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{25}{x^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{25}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{25}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{25}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{25}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 25 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 25 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 25 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 25 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 25 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 25 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 25 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 25 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 25 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 25$ .

$f'' (x) = 50 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 50 x^{- 3} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 50 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $50$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $\frac{50}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{25}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{25}{x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{25}{x}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 25 (- x^{- 2})$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$1 - 25 x^{- 2}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 25 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.4.1.1

Associez $- 25$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 25}{x^{2}}$

Étape 5.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{25}{x^{2}}$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{2}} + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{25}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{25}{x^{2}} + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{25}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{25}{x^{2}} = - 1$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{25}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{25}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{25}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 25}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 25 = - x^{2}$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 25$ .

$- x^{2} = - 25$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 6.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 6.5.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 6.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 6.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 6.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 6.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{25}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 5, - 5$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{50}{{(5)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{125}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $125$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5}$

Étape 11

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = (5) + \frac{25}{5}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Divisez $25$ par $5$ .

$f (5) = 5 + 5$

Étape 12.2.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$f (5) = 10$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $- 125$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Étape 14.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Étape 14.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Étape 14.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- 5}$

Étape 14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5}$

Étape 15

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = (- 5) + \frac{25}{- 5}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Divisez $25$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Étape 16.2.2

Soustrayez $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \frac{25}{x}$ .

$(5, 10)$ est un minimum local

$(- 5, - 10)$ est un maximum local

Étape 18