Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 6 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ .

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0 - 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 1$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{3}{2}$ .

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Étape 4.2.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

Étape 4.2.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Étape 4.2.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

Étape 4.2.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

Étape 4.2.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

Étape 4.2.2.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

Étape 4.2.2.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

Étape 4.2.2.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

Étape 4.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

Étape 4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{27}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{27}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

Étape 4.2.2.2.3

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

Étape 4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Étape 4.2.2.2.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.5.1

Soustrayez $108$ de $81$ .

$\frac{- 27 - 16}{16}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $16$ de $- 27$ .

$\frac{- 43}{16}$

Étape 4.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{43}{16}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

Étape 5