Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y - 3$ et $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $y^{2} - 3 y + 9$ par $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 3 y + 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Additionnez $2 y - 3$ et $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Développez $(- y + 3) (2 y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.2

Additionnez $3 y$ et $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Additionnez $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ et $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Additionnez $- 3 y$ et $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} + 6 y$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Réécrivez $- (y - 6)$ comme $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y (y - 6) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $y (y - 6)$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Étape 2.3.1.2.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 6 y$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Étape 2.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

Étape 2.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Étape 2.3.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3.5

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.3.5.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 2.3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 2.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (y - 6) = 0$ vraie.

$y = 0, 6$

Étape 3

Évaluez $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Étape 3.2

Indiquez tous les points.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Étape 4