Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 3 x - 10$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Développez $(- x - 2) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Additionnez $- 10$ et $6$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 2$ plus $- 2$

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 1.1.3.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.4

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.5

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.6

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4

Évaluez $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $15$ de $25$ .

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $10$ de $10$ .

$\frac{(5) + 2}{0}$

Étape 4.1.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{(5) + 2}{0}$

Étape 4.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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