Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u^{2} - 15 u - 20$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u^{2}$ .

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15 u$ .

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.3.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ .

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.3.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ .

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Étape 2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 2.5

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 2.6

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 4, - 1$

Étape 2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Étape 2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.10.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.10.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Étape 2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.12.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.13

La solution à $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ est $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$32 - 40 - 40 - 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $40$ de $32$ .

$- 8 - 40 - 2$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $40$ de $- 8$ .

$- 48 - 2$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $2$ de $- 48$ .

$- 50$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 8$ .

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$- 32 + 40 + 40 - 2$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $40$ .

$8 + 40 - 2$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $8$ et $40$ .

$48 - 2$

Étape 4.2.2.2.3

Soustrayez $2$ de $48$ .

$46$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

Étape 5