Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 15 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 15 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 15 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 45 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 45 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 45 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 45 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 u^{2} - 45 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u^{2} - 45 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u^{2}$ .

$5 u (u) - 45 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $5 u$ à partir de $- 45 u$ .

$5 u (u) + 5 u (- 9) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u (u) + 5 u (- 9)$ .

$5 u (u - 9) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{5} - 15 x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{5} - 15 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{5} - 15 {(3)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$243 - 15 {(3)}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$243 - 15 \cdot 27$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 15$ par $27$ .

$243 - 405$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $405$ de $243$ .

$- 162$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(- 3)}^{5} - 15 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$- 243 - 15 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 243 - 15 \cdot - 27$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 15$ par $- 27$ .

$- 243 + 405$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 243$ et $405$ .

$162$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (3, - 162), (- 3, 162)$

Étape 5