Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $5 x^{4} - 30 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 30 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 u^{2} - 30 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u^{2} - 30 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u^{2}$ .

$5 u (u) - 30 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $5 u$ à partir de $- 30 u$ .

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u (u) + 5 u (- 6)$ .

$5 u (u - 6) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 6$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 - 8$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 + 0 - 8$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 8$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{6}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{6}$ .

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{5}$ comme $\sqrt{6^{5}}$ .

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $7776$ comme $36^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Factorisez $1296$ à partir de $7776$ .

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}} - 8$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216} - 8$

Étape 4.2.2.1.7

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)} - 8$

Étape 4.2.2.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6} - 8$

Étape 4.2.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6}) - 8$

Étape 4.2.2.1.9

Multipliez $6$ par $- 10$ .

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6} - 8$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $60 \sqrt{6}$ de $36 \sqrt{6}$ .

$- 24 \sqrt{6} - 8$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{6}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{6}$ .

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{5}$ comme $\sqrt{6^{5}}$ .

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.5

Réécrivez $7776$ comme $36^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Factorisez $1296$ à partir de $7776$ .

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.5.2

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.7

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

Étape 4.3.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

Étape 4.3.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}}) - 8$

Étape 4.3.2.1.11

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216}) - 8$

Étape 4.3.2.1.12

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.3.2.1.12.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)}) - 8$

Étape 4.3.2.1.12.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6}) - 8$

Étape 4.3.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6})) - 8$

Étape 4.3.2.1.14

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6}) - 8$

Étape 4.3.2.1.15

Multipliez $- 6$ par $- 10$ .

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6} - 8$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 36 \sqrt{6}$ et $60 \sqrt{6}$ .

$24 \sqrt{6} - 8$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - 8), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6} - 8), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6} - 8)$

Étape 5