Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (\frac{7 π}{8})$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{7 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos^{2} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.4.6

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2}$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})}^{2}$

Étape 1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Étape 1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Étape 1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Étape 2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ comme ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Étape 5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.85355339 \dots$