Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 2}{x - 6}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 2}{y - 6}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez l’équation par $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 6 x = (\frac{y + 2}{y - 6}) (y - 6)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 6$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 6 x = \frac{y + 2}{y - 6} (y - 6)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 6 x = y + 2$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 6 x - y = 2$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 2 + 6 x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 6 x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 6 x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 6 x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 + 6 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 + 6 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 + 6 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 + 6 x$ .

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Étape 2.4.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (1) + 6 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$y = \frac{2 (1) + 2 (3 x)}{x - 1}$

Étape 2.4.4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (3 x)$ .

$y = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + 3 (\frac{x + 2}{x - 6}))}{(\frac{x + 2}{x - 6}) - 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez $3$ et $\frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (1 + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x - 6 + 3 (x + 2)}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.5

Réécrivez $\frac{x + 3 (x + 2) - 6}{x - 6}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 3 \cdot 2 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{x + 3 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.5.3

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 6 - 6}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.5.4

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x + 0}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.3.5.5

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{x + 2 - (x - 6)}{x - 6}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{x + 2 - x + 6}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{0 + 2 + 6}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{2 + 6}{x - 6}}$

Étape 4.2.4.4.5

Additionnez $2$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 6})}{\frac{8}{x - 6}}$

Étape 4.2.5

Associez $2$ et $\frac{4 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{\frac{8 x}{x - 6}}{\frac{8}{x - 6}}$

Étape 4.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.8.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{8 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{8}$

Étape 4.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Étape 4.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 6}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) + 2$ et $(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot 1}{\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1} - 6}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 (1)$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) - 6}$

Étape 4.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) - 6}$

Étape 4.3.3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + 2 \cdot - 3}$

Étape 4.3.3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{1 + 3 x}{x - 1} + 2 \cdot - 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Étape 4.3.3.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{2 (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Étape 4.3.3.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Étape 4.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $\frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Étape 4.3.4.2

Associez.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Étape 4.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.3.6.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + (x - 1) \cdot 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{1 + 3 x + x - 1}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x + 0}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.7.3

Additionnez $3 x + x$ et $0$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{3 x + x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.7.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Étape 4.3.8.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Étape 4.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{1 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Étape 4.3.8.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{3 x - 3 x + 4}$

Étape 4.3.8.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{0 + 4}$

Étape 4.3.8.6

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.3.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.3.9.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (1 + 3 x)}{x - 1}$