Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + 2 e^{y}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Étape 2.4.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Étape 2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 2.4.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 2.4.5

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 2.4.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 2.4.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Étape 4.2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Étape 4.2.4.6

Réécrivez $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.6.1

Soustrayez $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Étape 4.2.4.6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Étape 4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Étape 4.2.6

Multipliez $2 e^{x} + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Étape 4.2.7

Multipliez $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ par $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun à $2 e^{x} + 1$ et $1 + 2 e^{x}$ .

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Étape 4.2.8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Étape 4.2.8.3

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Étape 4.2.9

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Étape 4.2.10

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Étape 4.2.11

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Étape 4.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Étape 4.3.4.2

Associez $2$ et $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 4.3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 4.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 4.3.4.5

Réécrivez $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.5.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Étape 4.3.4.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 4.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$