Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ et ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ à partir de ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.1.2.4

Divisez ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$r = - \frac{1}{3}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $1$ dans ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ par $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Étape 4.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 4.2.7

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 6.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 6.1.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{4})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4}$